такая
система функций Ф = {φ(
x:)}, определённых на отрезке [
a, b], что не существует функции
f (
x), для которой,
и которая была бы ортогональна ко всем функциям φ(
х) из Ф, т. е. для которой
при любой функции φ(
х) из Ф (интегралы понимаются в смысле Лебега, см.
Интеграл)
. Система функций может быть полной на одном отрезке и не быть полной на другом. Например, 1
, sin
x, cos
х,..., sin
nx, cos
nx,... образуют П. с. ф. на отрезке [0, 2π], но не образуют П. с. ф. на отрезке [-2π, 2π]; последнее вытекает из того, что
для любой функции φ(
x) рассматриваемой системы. Для того чтобы
система функций с интегрируемым квадратом была П. с. ф., необходимо и достаточно, чтобы любую функцию с интегрируемым квадратом на отрезке [
а, b] можно было с любой степенью точности приблизить в среднем линейными комбинациями
функций из этой системы. См.
Ортогональная система функций.